Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra ARARA?
Note que embora esta palavra também tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A letra A que ocorre 3vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos proceder nesta situação?
Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120 possibilidades.
Como na palavra ARARA a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três letras A é P3 = 3! = 6, ou seja, se dividirmos 120 por 6 iremos obter 20 que é o número de permutações, já desconsiderando-se as permutações entre as três letras A.
O mesmo iremos fazer em relação à letra R, só que neste caso o número de permutações desta letra é P2 = 2! = 2, isto é, dividindo-se 20 por 2 temos como resultado 10, que é o número total de permutações das letras da palavra ARARA, sem considerarmos as permutações das letras A entre si, e das letras R também entre elas mesmas.
Permutação com Elementos Repetidos
A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com elementos repetidos.
Fórmula da Permutação com Elementos Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações que podemos obter é dada por:
A resolução do exemplo com o uso da fórmula é:
Exemplos
Como a palavra PARAR possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5(2, 2):
Portanto:
Neste caso de permutação com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2):
Então:
Neste exemplo, número ímpares serão aqueles terminados em 3 ou 9.
No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5(2, 2), pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2 ocorrências do próprio algarismo 3 e 2 ocorrências do 6:
Agora no caso dos números terminados em 9 devemos calcular P5(3, 2), pois o dígito 9 será utilizado na última posição e dos5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:
Como temos 30 números terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, então no total temos 40 números ímpares.
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