Abelianístico: O que é, significado, definição.

O que é Abelianístico?

O termo “abelianístico” é utilizado na matemática para descrever um grupo abeliano, ou seja, um grupo que possui uma propriedade específica chamada de comutatividade. Para entender o significado dessa palavra, é necessário compreender o conceito de grupo e a propriedade de comutatividade.

Grupo

Um grupo é uma estrutura matemática composta por um conjunto de elementos e uma operação binária, que combina dois elementos do conjunto para produzir um terceiro elemento. Essa operação deve ser associativa, ou seja, a ordem em que os elementos são combinados não altera o resultado final. Além disso, o grupo deve possuir um elemento neutro, que quando combinado com qualquer outro elemento não altera seu valor.

Comutatividade

A propriedade de comutatividade é uma característica de algumas operações binárias, que consiste na possibilidade de trocar a ordem dos elementos sem alterar o resultado final. Em um grupo abeliano, a operação binária é comutativa, ou seja, a ordem em que os elementos são combinados não afeta o resultado.

Exemplos de Grupos Abelianos

Existem diversos exemplos de grupos abelianos na matemática. Um exemplo simples é o conjunto dos números inteiros com a operação de adição. Nesse caso, a ordem em que os números são somados não altera o resultado final. Outro exemplo é o conjunto dos números reais não nulos com a operação de multiplicação. Novamente, a ordem dos números não afeta o produto final.

Propriedades dos Grupos Abelianos

Os grupos abelianos possuem algumas propriedades interessantes. Por exemplo, todo subgrupo de um grupo abeliano é também um grupo abeliano. Além disso, a soma e o produto de elementos de um grupo abeliano também são elementos do grupo.

Aplicações dos Grupos Abelianos

Os grupos abelianos têm diversas aplicações na matemática e em outras áreas do conhecimento. Na teoria dos números, por exemplo, eles são utilizados para estudar as propriedades dos números primos. Na física, os grupos abelianos são aplicados para descrever simetrias em sistemas físicos.

Teoria dos Grupos

A teoria dos grupos é um ramo da matemática que estuda as propriedades e estruturas dos grupos. Ela é uma área fundamental para o desenvolvimento de diversas outras áreas da matemática e da física. Os grupos abelianos são um dos objetos de estudo mais importantes nessa teoria.

Outras Propriedades dos Grupos

Além da comutatividade, os grupos podem possuir outras propriedades. Por exemplo, um grupo pode ser finito ou infinito, dependendo do número de elementos que possui. Além disso, um grupo pode ser cíclico, ou seja, gerado por um único elemento.

Conclusão

Em resumo, o termo “abelianístico” é utilizado para descrever um grupo abeliano, que possui a propriedade de comutatividade. Os grupos abelianos são importantes na matemática e em outras áreas do conhecimento, sendo objeto de estudo da teoria dos grupos. Eles possuem diversas propriedades interessantes e aplicações práticas.